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Cauchy-Schwarz不等式

来源：哔哩哔哩 时间：2023-05-03 16:09:46

Cauchy想必是耳熟能详的数学家，其有不少贡献。今天我们针对他在代数学上的一个重大贡献——“Cauchy不等式”进行介绍以及证明。大标题中的Schwarz是Cauchy本人的名字，无需在意。

Part1 何为Cauchy不等式？如何使用？

对于该不等式（下称cauchy），一般用于不等式的证明当中，用途广泛，上手相对简单（？）。在不等式的学习中，有不少工具可以辅助，例如am-gm不等式（即algebra mean-geometry mean不等式，也称均值不等式），还有课本提及的基本不懂式（划）基本不等式，包括Cauchy求反技术，调整系数技术等手段都可以更好的证明各种不等式。那么在茫茫不等式中，我们今天来展示一下cauchy：


【资料图】

（a1^2+a2^2+……+an^2）（b1^2+……+bn^2）≥（a1b1+……anbn）^2

这是n元形式，当然，通过百度搜索我们也可以看到向量形式等多种我也不知道是什么的形式，在此不多赘述（因为我不会）（划）

读者可以自行带入数字（实数！）验证

证明易得，读者感兴趣可自行翻阅资料证明（bushi

可以参考资料：［Cauchy-Schwarz不等式/bilibili.com/b23.tv/6MKcOI3/uid:399861791］

蛤？你不会真的信了吧？这个uid就是我的啊（

「never gonna give you up」♪正在播放♪

咳咳正经一点，接着说回来，那么下文我会对cauchy给出三种证明，各有千秋。相信部分证法读者或许曾见过，不过总有一种应该是新的，（因为那个是我自己闲的没事干考虑出来的，一般人没我那么闲的（

Part2 证明

碍于篇幅（一个字：懒），所有证法我都仅给出大致思路，不给出全部过程。

法1:第一步，考虑ai数列或bi数列之和为零，容易得到成立

第二步，构造An=a1+…an，Bn同理；xi=ai/（［An）^（1/2）］，yi同理

往后用一次绝对值不等式即可，欢迎读者自证

法2:构造函数f（t）=Σi=1～n（t*ai-bi）^2

故对于任意t，f（t）均大于等于0，故二次方程有一根（重根）或无根（两虚根）

则Δ小于等于0

可得。

对于该方法额外补充，初次见到是在新思维上，还是极其惊艳的构造

法3:

该法为本人独立闲的想出，如有雷同纯属雷同（

毕竟不敢保证没有闲人如吾（

本法其实一开始是在研究将军饮马，故数形结合

由将军～可得二元形式，然后可以有n个点，（或许数归也可以罢

有兴趣的读者亦可自行证明

Part3 拓展研究

（是的，是不是很像你的数学大题的压轴）

由cauchy我们可以得出权方和不等式以及闵可夫斯基不等式

感兴趣读者可以自行查阅资料（这次真的要你自己搜了

最后总结一下，这么看来，看我的文章兴趣真是好重要啊（笑）

其实不写过程只是因为平板不易打出数学符号，而且容易出错）

还是欢迎勘误（虽然好像根本没有过程啊喂

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